Метод расчёта цепей · Электрические цепи постоянного тока

Метод узловых потенциалов

Метод сводит расчёт цепи любой сложности к системе линейных уравнений относительно потенциалов узлов — их обычно меньше, чем токов ветвей, поэтому метод и считается самым экономным по числу уравнений среди всех методов расчёта цепей постоянного тока.

Принцип метода

Выбираем базовый узел

Один из узлов схемы принимаем за базовый и считаем его потенциал равным нулю: φ₀ = 0. Обычно выбирают узел с наибольшим числом сходящихся ветвей — тогда уравнений меньше.

Составляем уравнение для каждого оставшегося узла

Для узла k уравнение связывает его потенциал с потенциалами соседних узлов через проводимости ветвей:

g_{kk}\,\varphi_k \;-\; \sum_{j \neq k} g_{kj}\,\varphi_j \;=\; J_k

(2.1)

где $g_{kk}$ — сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле k; $g_{kj}$ — сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и j напрямую; правая часть $J_k$ — алгебраическая сумма токов, «впадающих» в узел k: токов от идеальных источников тока и эквивалентных токов $E \cdot g$ от ветвей с ЭДС (со знаком «плюс», если источник направлен к узлу k).

Решаем систему уравнений

Получаем n−1 уравнение (n — число узлов) относительно n−1 неизвестного потенциала — решаем любым способом (метод Гаусса, подстановка, калькулятор).

Находим токи ветвей

Зная потенциалы узлов, ток любой ветви находим по обобщённому закону Ома. Для ветви с резистором R и ЭДС E, направленной от узла A к узлу B, у которой «плюс» источника обращён к узлу A:

I_{A \to B} = \dfrac{\varphi_A - \varphi_B + E_{AB}}{R}

(2.2)

Если в ветви нет источника ЭДС, просто полагаем $E_{AB} = 0$ — формула превращается в обычный закон Ома для участка цепи.

Пример

Цепь с одним независимым узлом

Узел 1 соединён с базовым узлом 0 тремя параллельными ветвями: резистор R₁ = 10 Ом последовательно с ЭДС E₁ = 15 В (плюс источника обращён к узлу 0), резистор R₂ = 20 Ом без источника и идеальный источник тока J = 1,5 А, направленный в узел 1. Найдём потенциал узла 1 и токи в ветвях с резисторами.

Рис. 2.1 — Схема примера — узел 1, базовый узел 0, три параллельные ветви

Проводимости ветвей

g_1 = \dfrac{1}{R_1} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\ \text{См}

(2.3)

g_2 = \dfrac{1}{R_2} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{См}

(2.4)

Уравнение для узла 1

По формуле (2.1): собственная проводимость узла $g_{11} = g_1 + g_2$ , правая часть — ток от ЭДС (плюс обращён к узлу 0, значит источник толкает ток к узлу 1 — берём со знаком «плюс») и ток источника J:

(g_1 + g_2)\,\varphi_1 = E_1\, g_1 + J

(2.5)

(0{,}1 + 0{,}05)\,\varphi_1 = 15 \cdot 0{,}1 + 1{,}5 = 3

(2.6)

Отсюда $\varphi_1 = \dfrac{3}{0{,}15} = 20\ \text{В}$ .

Токи ветвей по формуле (2.2)

Ток через R₁ (направление 0 → 1, ЭДС «плюсом» к узлу 0, поэтому $E_{01} = +15$ В):

I_1 = \dfrac{\varphi_0 - \varphi_1 + E_{01}}{R_1} = \dfrac{0 - 20 + 15}{10} = -0{,}5\ \text{А}

(2.7)

Знак «минус» означает, что реальный ток в этой ветви течёт не от узла 0 к узлу 1, как мы предположили, а наоборот — от узла 1 к узлу 0. Ток через R₂ (направление 1 → 0, без источника):

I_2 = \dfrac{\varphi_1 - \varphi_0}{R_2} = \dfrac{20 - 0}{20} = 1\ \text{А}

(2.8)

Проверка по первому закону Кирхгофа

В узел 1 входят: ток источника J и ток I₁, если считать его в направлении 0 → 1 (у нас он отрицательный, то есть фактически выходит). Выходит ток I₂. Баланс:

I_1 + J = -0{,}5 + 1{,}5 = 1\ \text{А} = I_2

(2.9)

Сходится — решение верно.

В реальном задании узлов обычно 3–5, и решать систему вручную дольше — соберите свою схему в калькуляторе, он покажет то же самое решение по шагам, но с вашими числами.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →